２次曲線

2 次曲線とは2次方程式

a (x^2)+2 b x y+c (y^2)+d x+e y+f==0

を満たす点 (x, y) の集合のこと．

ContourPlot[-x^2+x*y-3y^2+2*x+7*y+2==0,{x,-5,5},{y,-5,5}]

２次曲線の種類

（１）楕円

((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))==1

ContourPlot[4*x^2+y^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1}]

ContourPlot[x^2+2*y^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1}]

（２）双曲線

((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))==1

ContourPlot[x^2-4*y^2==1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

（３）放物線

(y^2)==4*p*x

ContourPlot[y==x^2,{x,-5,5},{y,-1,5}]

（４）２つの直線

x, y の１次式に因数分解できる場合，その2次曲線は２つの直線である．

Factor[2*x^2+x*y-6*y^2+7*y-2]

ContourPlot[2*x^2+x*y-6*y^2+7*y-2==0,{x,-3,3},{y,-3,3}]

（５）１つの点

以下の方程式を満たす x, y は x = y = 0 のみ （Mathematica では何も描画されない）．

ContourPlot[x^2+y^2==0,{x,-5,5},{y,-5,5}]

（６）存在しない

以下の方程式を満たす実数 x, y は存在しない（Mathematica では何も描画されない）．

ContourPlot[x^2+y^2==-1,{x,-5,5},{y,-5,5}]

目的

（４） 〜 （６） の特異な例を除けば，２次曲線は （１） 〜 （３） の種類しか存在しない．与えられた２次方程式がどの２次曲線を表すかを判定できるようになるのが目的である．