2次曲線（方程式）の定義

F[x_,y_]=2x^2+4*x*y-y^2+x-2y-1

F[x,y]

2次曲線の描画

ContourPlot[F[x,y]==0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

原点の平行移動

F[x+a,y+b]

F[x + a, y + b] のxの係数

D[F[x+a,y+b],x]/.x->0/.y->0

F[x + a, y + b] のyの係数

D[F[x+a,y+b],y]/.x->0/.y->0

F[x + a, y + b] の1次の項が消えるためには…

Solve[{1+4 a+4 b==0,-2+4 a-2 b==0},{a,b}]

Expand[F[x+1/4,y-1/2]]

座標の直交変換により，2次の項を簡略化する

A={{2,2},{2,-1}}

Expand[{x,y}.A.{x,y}]

Eigensystem[A]

P={{2/Sqrt[5],-1/Sqrt[5]},{1/Sqrt[5],2/Sqrt[5]}}

P//MatrixForm

Transpose[P].A.P

P.{x,y}

Expand[F[((2 x)/(Sqrt[5]))-(y/(Sqrt[5]))+1/4,(x/(Sqrt[5]))+((2 y)/(Sqrt[5]))-1/2]]