Sin[x] のTaylor展開

y = Sin[x] のグラフ

Plot[Sin[x],{x,-2Pi,2Pi}]

Sin[x] を x=0 を中心に5乗の項までテイラー展開

Series[Sin[x],{x,0,5}]

Normal[Series[Sin[x],{x,0,5}]]

Plot[x-((x^3)/6)+((x^5)/120),{x,-2Pi,2Pi}]

Plot[{Sin[x],x-((x^3)/6)+((x^5)/120)},{x,-2Pi,2Pi}]

y = Sin[x] とテイラー展開した級数とのグラフのちがい

赤色の数値は級数の項の最大次数です．

Plot[{Sin[x],Normal[Series[Sin[y],{y,0,20}]]/.y->x},{x,-2Pi,2Pi}]

Log[x] のTaylor展開

y = Log[x] のグラフ

Plot[Log[x],{x,0,3}]

Log[x] を x=1 を中心に5乗の項までテイラー展開

Series[Log[x],{x,1,5}]

Normal[Series[Log[x],{x,1,5}]]

Plot[-1-(1/2) (((-1+x))^2)+(1/3) (((-1+x))^3)-(1/4) (((-1+x))^4)+(1/5) (((-1+x))^5)+x,{x,0,3}]

Plot[{Log[x],-1-(1/2) (((-1+x))^2)+(1/3) (((-1+x))^3)-(1/4) (((-1+x))^4)+(1/5) (((-1+x))^5)+x},{x,0.1,3}]

y = Log[x] とテイラー展開した級数とのグラフのちがい

赤色の数値は級数の項の最大次数です．

いくら項数を増やしても，x>2 の範囲で級数は Log[x] には収束しません．

Plot[{Log[x],Normal[Series[Log[y],{y,1,25}]]/.y->x},{x,0,3}]