今日の目標

直線や平面のベクトル方程式を理解し，幾何的なイメージをつかむ．

1.1 ベクトルの定義

ベクトル，点の座標は { } で表します．

a={1,2,3};

a

1.2 ベクトルの可視化（１）

ベクトル（矢印つき線分）は Arrow コマンドで可視化できます．

Graphics[Arrow[始点,終点}]]

Graphics[Arrow[{{0,0},{1,2}}]]

1.3 ベクトルの可視化（２）

始点と方向でベクトルを与えるコマンド Vector を定義しましょう．

Vector[start_,direction_]:=Arrow[{start,start+direction}]

Vector[{1,3,2},{1,-2,1}]

Graphics3D[Vector[{1,3,2},{1,-2,1}]]

1.4 線分の太さ，色を変える

ベクトルの線の太さや色を変えることができます

Graphics[{太さ (Thin or Thick),色,２次元オブジェクト}]

Graphics3D[{太さ (Thin or Thick),色,３次元オブジェクト}]

p={1,2,3};
v={1,-1,2};
Graphics3D[{{Thin,Red,Vector[p,v]},{Thick,Blue,Vector[{0,0,0},v]}}]

2.1 直線の媒介変数表示（１）

２点 a, b を通る直線上の点 p は

p = a + t ( b - a )

で表される（t は媒介変数）．

ParametricPlot[{x 座標 (tの関数),y 座標 (tの関数)},{t の動く範囲}]

a={3,2};
b={-1,3};
ParametricPlot[a+t*(b-a),{t,-2,2}]

a={3,2};
b={-1,3};
Show[
ParametricPlot[a+t*(b-a),{t,-2,2}],
Graphics[{Thick,Red,Vector[{0,0},a]}],
Graphics[{Thick,Blue,Vector[{0,0},b]}]
]

2.2 直線の媒介変数表示（２）

点 a を通り，方向ベクトルが v の直線上の点（の位置ベクトル）p は

p = a + t v

で表される（t は媒介変数）．

a={7,1};
v={2,-1/2};
Show[
ParametricPlot[a+t*v,{t,-4,2}],
Graphics[{Thick,Red,Vector[{0,0},a]}],
Graphics[{Thick,Blue,Vector[a,v]}]
]

3.1 3点を通る平面の媒介変数表示

PA={-1,0,2};
PB={2,-2,1};
PC={0,2,-1};
Graphics3D[
{
{PointSize[Large],Point[{PA, PB, PC}]},
Text[A,PA+{0,0,0.2}],
Text[B,PB+{0,0,0.2}],
Text[C,PC+{0,0,0.2}],
{Thick,Red,Vector[{0,0,0},PA]},
{Thick,Red,Vector[{0,0,0},PB]},
{Thick,Red,Vector[{0,0,0},PC]}
}
]

3.2 3点を通る平面の媒介変数表示

３点 a, b, c を通る平面上の点 p は

p = a + s ( b - a ) + t ( c - a )

で表される（t, s は媒介変数）．

a={-1,0,2};
b={2,-2,1};
c={0,2,-1};
Show[
ParametricPlot3D[a+s*(b-a)+t*(c-a),{s,-1,1},{t,-1,1}],
Graphics3D[{Thick,Red,Vector[{0,0,0},a]}],
Graphics3D[{Thick,Red,Vector[{0,0,0},b]}],
Graphics3D[{Thick,Red,Vector[{0,0,0},c]}]
]

3.3 3点を通る平面の媒介変数表示

a={-1,0,2};
b={2,-2,1};
c={0,2,-1};
Vector[start_,direction_]:=Arrow[{start,start+direction}];
Manipulate[
Show[
ParametricPlot3D[a+s*(b-a)+t*(c-a),{s,-1,1.5},{t,-1,1.5},PlotStyle->Opacity[0.3]],
Graphics3D[{Thin,Red,Vector[{0,0,0},a]}],
Graphics3D[{Thin,Red,Vector[{0,0,0},b]}],
Graphics3D[{Thin,Red,Vector[{0,0,0},c]}],
Graphics3D[{Thick,Blue,Vector[a,b-a]}],
Graphics3D[{Thick,Blue,Vector[a,c-a]}],
Graphics3D[{PointSize[Large],Point[{a,b,c,a+ss*(b-a)+tt*(c-a)}]}]
],{{ss,0,"パラメーター t"},-0.5,1.5},{{tt,0,"パラメーター s"},-0.5,1.5},SaveDefinitions->True]

3.4 平面のベクトル方程式

点 a を通り法線ベクトル n に直交する平面上の点 p は以下の関係式

( p - a)・n = 0

を満たす． p = (x, y, z) とおくと，上の式は x, y, z に関する1次式

a x + b y + c z = d

に帰着される．

内積

{a,b, c}.{x,y,z}

{1,2,3}.{3,2,1}

方程式を計算してみる

a={1,0,2};
n={1,1,1};
({x,y,z}-p0).n==0