例題（問題 5.1）

2 次曲線 16(x^2)+24xy+9(y^2)-y+1=0 について以下の問に答えなさい．

(1) 2次式の左辺を f (x,y) とし，x,y を独立変数とする関数とし定義しなさい．
(2)  f (x,y)=0 を-5 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5 の範囲で描画しなさい．
(3) x=(({{x}, {y}})) とし， f (x, y) の2次の項を (^t)xAx と行列表示したときの係数行列をAとおきなさい．
(4) A の固有値を求めなさい．
(5) A の固有ベクトルを求めなさい．
(6) (5)で求めた固有ベクトルを長さが1になるように適当に定数倍し，それぞれv1，v2とおきなさい．
(7) v1，v2 を列ベクトルとし，この2つのベクトルを並べて行列をつくり，それをPとおきなさい．
(8) P が直交行列であることを確かめなさい．
(9) (^t)PAP が対角行列になることを確かめなさい．
(10) X=(({{X}, {Y}}))とし，x=PXと座標変換するとき， f (x,y)=0 をX, Y の方程式で表しなさい．

例題の解答

(1) 2次式の左辺を f (x,y) としx,y を独立変数とする関数とし定義しなさい．

f[x_,y_]:=16*x^2+24*x*y+9*y^2-y+1

(2)  f (x,y)=0 を-5 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5 の範囲で描画しなさい．

ContourPlot[f[x,y]==0,{x,-5,0},{y,0,5}]

(3) x=(({{x}, {y}})) とし， f (x, y) の2次の項を (^t)xAx と行列表示したときの係数行列をAとおきなさい．

A=(({{16, 12}, {12, 9}}))

A//MatrixForm

(4) A の固有値を求めなさい．

Eigenvalues[A]

(5) A の固有ベクトルを求めなさい．

Eigenvectors[A]

(6) (5)で求めた固有ベクトルを長さが1になるように適当に定数倍し，それぞれv1，v2とおきなさい．

Norm[{4,3}]

v1=(1/5)*{4,3};

v1

Norm[{-3,4}]

v2=(1/5)*{-3,4};

v2

(7) v1，v2 を列ベクトルとし，この2つのベクトルを並べて行列をつくり，それをPとおきなさい．

P=(({{4/5, -3/5}, {3/5, 4/5}}))

P//MatrixForm

(8) P が直交行列であることを確かめなさい．

Transpose[P].P//MatrixForm

(9) (^t)PAP が対角行列になることを確かめなさい．

Transpose[P].A.P//MatrixForm

(10) X=(({{X}, {Y}}))とし，x=PXと座標変換するとき， f (x,y)=0 をX, Y の方程式で表しなさい．

P.{x,y}

f[((4 x)/5)-((3 y)/5),((3 x)/5)+((4 y)/5)]

Simplify[f[((4 x)/5)-((3 y)/5),((3 x)/5)+((4 y)/5)]]